Главная > Математика > Теория поверхностей
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 34. Резные поверхности

Резной поверхностью называется поверхность, составленная из ортогональных траекторий однопараметрического семейства плоскостей (черт. 40). Если это семейство вырождается в пучок, то эти ортогональные траектории обращаются в окружности, и резная поверхность вырождается в поверхность вращения.

Черт. 40.

Возвращаясь к общему случаю, мы будем называть параллелями резной поверхности ортогональные траектории данного семейства плоскостей, а меридианами — сечения поверхности этими плоскостями.

Нормали резной поверхности, очевидно, лежат в плоскостях меридианов, вследствие чего меридианы являются линиями кривизны поверхности.

Другое семейство линий кривизны совпадает с семейством параллелей, так как последние являются ортогональными траекториями меридианов.

Чтобы составить уравнение резной поверхности, рассмотрим уравнение одной ее параллели, которую будем называть начальной:

считая и ее натуральным параметром.

В каждой точке этой линии мы введем местную систему координат, образованную двумя взаимно перпендикулярными нормальными векторами этой кривой:

В таком случае уравнение любого меридиана может быть записано в следующем виде:

Потребуем, чтобы нормали, содержащие описывали развертывающиеся поверхности. Для этого достаточно положить согласно (13) § 17 и (11) § 17

В таком случае

и

Но параллели, линии должны быть ортогональными траекториями плоскостей, содержащих векторы что имеет место только в том случае, когда функции и С не зависят от и, а. это показывает, что все меридианы резной поверхности конгруэнтны между собой. Последнее свойство позволяет утверждать, что резная поверхность описывается кривой, которая расположена в плоскости, катящейся без скольжения по некоторой развертывающейся поверхности (огибающей данного семейства плоскостей).

По доказанному уравнение резной поверхности имеет вид

где определены по формулам суть длина дуги, кручение и векторы главной нормали и бинормали кривой (1). Линейный элемент поверхности имеет вид:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление