Главная > Математика > Теория поверхностей
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 37. Развертывающиеся поверхности как линейчатые

Касательная плоскость будет одной и той же во всех точках образующей, если векторы коллинеарны между собой, а если это имеет место для всех образующих, то поверхность огибает однопараметрическое семейство плоскостей, т. е. будет развертывающейся.

Применяя известное векторное тождество

и приравнивая нулю векторное произведение, получим условие коллинеарности указанных векторов или условие того, что линейчатая поверхность развертывающаяся

Пользуясь этим условием коллинеарности, мы можем положить

где единичный вектор, перпендикулярный к функции параметра и. После этого линейный элемент развертывающейся поверхности принимает вид

а если направляющая ортогональна образующим, то

В случае цилиндрической поверхности полагая

получим ее линейный элемент

Считая, что -вектор вершины конической поверхности, и полагая

получим

Если поверхность есть место касательных прямых кривой (1) § 36, а и есть длина ее дуги, то есть ее единичный касательный вектор, ее кривизна и линейный элемент поверхности имеет вид

Покажем, что все развертывающиеся поверхности наложимы на плоскость, что и объясняет их название.

Для цилиндра и конуса это очевидно, так как их линейные элементы (4) и (5) совпадают с линейными элементами плоскости в прямоугольных декартовых и полярных координатах.

Остается рассмотреть развертывающуюся поверхность с ребром возврата, которая имеет линейный элемент вида (6).

Мы видим, что его коэффициенты зависят только от кривизны ребра возврата, т. е. от вида функции

где кривизна, а длина дуги этой линии. Отсюда следует, что если деформировать ребро возврата так, чтобы при этом его кручение изменялось, а зависимость кривизны от длины дуги оставалась неизменной, то линейный элемент поверхности, составленной из касательных к этой линии, будет оставаться неизменным и, значит, поверхность будет изгибаться.

Но так как соотношения между кривизной, кручением и длиной дуги могут быть выбраны независимо, то, не меняя первое, мы можем выбрать кручение так, чтобы оно было тождественно равно нулю. При таком выборе ребро возврата станет плоской кривой, а все его касательные расположатся на плоскости. Следовательно, изгибая нашу поверхность, мы можем добиться того, что все ее точки расположатся на плоскости. Таким образом, развертывающаяся поверхность с ребром возврата тоже наложима на плоскость,

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление