Главная > Математика > Теория поверхностей
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3. Натуральный параметр и сопровождающий трехгранник кривой

1. Величина интеграла

не зависит от выбора параметра и этот интеграл определяет так называемый натуральный параметр кривой. В общем курсе дифференциальной геометрии показывается, что разность двух значений этого параметра

равна длине дуги, заключенной между точками со значениями параметра

Дифференцируя (1), получим

или

Обозначая штрихом дифференцирование по натуральному параметру, получим

Таким образом, производная от радиуса-вектора точки кривой по натуральному параметру есть единичный касательный вектор кривой. Очевидно, что (4) равносильно соотношению

которое показывает, что предел отношения хорды кривой к стягиваемой ею бесконечно малой дуге равен единице.

В дальнейшем мы воспользуемся одним следствием этого результата. Если два значения переменного единичного вектора изображены отрезками то длина окружности единичного радиуса с центром в точке О равна углу на который поворачивается вектор получивший приращение Так как в силу (5)

то предел отношения модуля приращения единичного вектора к бесконечно малому углу его поворота равен единице.

2. Вектор второй производной по натуральному параметру удовлетворяет условию

т. е. перпендикулярен к касательной.

Но всякая прямая, пересекающая касательную ортогонально в точке ее прикосновения, называется нормалью кривой, нормаль, расположенная в соприкасающейся плоскости, — ее главной нормалью. Так как вектор второй производной по любому параметру расположен в соприкасающейся плоскости, то вектор направлен по главной нормали.

Нормаль, перпендикулярная к главной нормали, называется бинормалью, а плоскость, содержащая главную нормаль и бинормаль, а следовательно, и все нормали кривой, называется нормальной.

Наконец, плоскость, содержащая бинормаль и касательную, называется спрямляющей.

Прямоугольный трехгранник, образованный касательной, главной нормалью и бинормалью, называется сопровождающим трехгранником кривой. Единичные векторы направленные по осям этого трехгранника (черт. 3), называются также главными векторами кривой и определяются условиями

Черт. 3.

Произведя круговую перестановку в последнем из них, получим также

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление