Главная > Математика > Теория поверхностей
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 41. Прямолинейная конгруэнция и ее основные квадратичные формы

1. Прямолинейной конгруэнцией называется семейство прямых, зависящих от двух параметров.

Всякую прямую конгруэнции можко задать уравнением

где есть единичный направляющий вектор луча конгруэнции, радиус-вектор точки ее опорной поверхности. Опорную поверхность конгруэнции можно, конечно, выбрать с большим произволом, так как всякая поверхность, заданная параметрическим уравнением

будет опорной для той же конгруэнции.

Относя всякому лучу точку сферы единичного радиуса, радиус-вектор которой

мы построим сферическое отображение конгруэнции. В дальнейшем мы будем исключать из рассмотрения такие конгруэнции, сферическое отображение которых вырождается в линию. Такие конгруэнции называются цилиндрическими.

Всякую линейчатую поверхность, принадлежащую конгруэнции, можно задать ее внутренним уравнением, т. е. уравнением вида

В сферическом отображении ей соответствует некоторая кривая линия, принадлежащая сфере единичного радиуса.

2. Квадрат бесконечно малого угла между двумя образующими этой линейчатой поверхности конгруэнции

где

есть основной метрический тензор сферического отображения.

Таким образом, квадрат угла между бесконечно близкими образующими конгруэнции эквивалентен линейному элементу сферического отображения.

3. Параметр распределения той же линейчатой поверхности

Вводя вторую квадратичную форму конгруэнции с коэффициентами

будем иметь

Вид формулы (5) показывает, что параметр распределения линейчатой поверхности, принадлежащей конгруэнции, зависит только от направления касательной к линии, являющейся сферическим отображением этой поверхности.

Кроме того, так как инвариантны, то и форма инвариантна по отношению к преобразованию координат, а следовательно (п° 5 § 10), величины являются ординатами тензора, заданного на поверхности сферы единичного радиуса.

Рассмотрим орты главных направлений этого тензора или главных направлений конгруэнции и его главные значения Рассуждая так же, как в § 23 по отношению к тензору второй квадратичной формы поверхности, мы получим для любого единичного вектора

принадлежащего сфере,

Но т. е. параметру распределения, соответствующему направлению а

— значения этого параметра, соответствующие главным направлениям конгруэнции.

Окончательно для всех введенных величин получается соотношение

Величины

называются средним и полным параметрами конгруэнции. Согласно (18) § 11 и (20) § 11

Луч конгруэнции называется эллиптическим, гиперболическим или параболическим в зависимости от того, к какому из этих типов принадлежит тензор соответствующий этому лучу.

Каждый из этих лучей характеризуется положительным, отрицательным или нулевым значением полного параметра. Конгруэнция называется изотропной, если ее главные параметры одинаковы. Признаком такой конгруэнции является пропорциональность коэффициентов ее основных форм

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление