Главная > Математика > Теория поверхностей
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4. Лемма об ортонормальной тройке и формулы Серре — Френе

1. Три вектора образуют ортонормальную тройку, если они единичны и взаимно перпендикулярны.

Условие ортонормальности имеет вид

Если векторы ортонормальной тройки являются дифференцируемыми функциями аргумента то их производные можно разложить по ним самим и рассмотреть систему уравнений

Дифференцируя левые и правые части (1) и пользуясь (2), мы получим

или

Таким образом, матрица коэффициентов разложения производных векторов ортонормальной тройки по этим же векторам

кососимметрична, т. е. имеет следующий вид:

2. Применяя этот общий результат к производным главных векторов кривой по ее натуральному параметру и пользуясь (8) § 3, мы получим так называемые формулы Серре — Френе

Коэффициенты называются кривизной и кручением кривой, а величина -радиусом кривизны. Пользуясь (6) § 3, легко показать, что кривизна кривой в любой ее точке равна пределу отношения угла поворота касательной на бесконечно малой дуге, содержащей эту точку, к длине этой дуги, а абсолютная величина кручения равна пределу отношения угла поворота бинормали на той же дуге к длине этой дуги.

3. Кривизна и кручение выражаются через производные радиуса-вектора по любому параметру следующим образом:

Точки кривых, в которых называются точками спрямления, и точки, в которых точками уплощения.

Соотношения

выражающие зависимости кривизны и кручения от натурального параметра, называются натуральными уравнениями кривой. Натуральные уравнения определяют кривую с точностью до ее положения в пространстве.

Из (1) — (5) § 2 следует, что прямая линия характеризуется условием

а плоские кривые — условием

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление