Главная > Математика > Теория поверхностей
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 57. Геодезически-биссекторное поле

1. Будем называть поле геодезически-биссекторным, если его вектор направлен по биссектрисе угла между векторами двух геодезических полей.

Если даны единичные векторы геодезических полей то с ними можно связать векторы Двух взаимно ортогональных биссекторных полей

Эти векторы — градиенты и выражаются через геодезические потенциалы так, что

Вследствие этого векторные линии полей и будут линиями уровня

Так как величины а и геодезическим расстояниям точки от начальных ортогональных траекторий

геодезических полей то линии (3) называют также геодезическими эллипсами и гиперболами, а линии (4) — их фокальными многообразиями. В частном случае, когда эти кривые вырождаются в точки, а поверхность — в плоскость, уравнения (3) выражают семейства конфокальных эллипсов и гипербол в обычном смысле этого слова.

2. Найдем единичные направляющие векторы полей и Обозначая через угол между векторами геодезических полей получим

и искомые единичные векторы

Вводя новые параметры

мы получим выражение линейного элемента поверхности, отнесенного к криволинейным координатам, линии которых совпадают с линиями взаимно ортогональных геодезически-биссекторных полей

или

частном случае, когда постоянно, этот линейный элемент может быть приведен к виду

Отсюда следует, что позерхность, допускающая существование двух геодезических полей, линии которых пересекаются под постоянным углом, наложима на плоскость.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление