Главная > Математика > Теория поверхностей
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ГЛАВА X. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ СЕТЕЙ

§ 62. Присоединенная точка векторного поля

1. Рассмотрим некоторую линию отличную от линии векторного поля единичного вектора Прямые, касающиеся линий поля в точках кривой образуют линейчатую поверхность

а точка этой поверхности, присоединенная к точке имеет согласно (1) § 38 абсциссу

Но

откуда

где есть дополнительный, — трансверсальный вектор поля, соответствуют дифференцированию вдоль кривой

2. Для того чтобы линия была трансверсалью поля, необходимо и достаточно, чтобы

но в таком случае а это значит, что линия является стрикционной линией поверхности (1).

Таким образом, для того чтобы вектор а переносился параллельно вдоль линии необходимо и достаточно, чтобы эта линия была стрикционной для поверхности, образованной прямыми, направленными по вектору а.

3. В частности, мы видим, что на всякой неразвертывающейся линейчатой поверхности вектор образующей переносится параллельно вдоль ее стрикционной линии. Отсюда можно сделать некоторые выводы. Допустим, что стрикционная линия пересекает все образующие под постоянным углом . В таком случае ее

касательный вектор образует постоянный угол с вектором, переносящимся параллельно, и, следовательно, сам переносится параллельно вдоль стрикционной линии, которая оказывается, таким образом, геодезической. Обратно, из последнего утверждения следует сейчас же постоянство угла. Таким образом, для того чтобы стрикционная линия линейчатой поверхности была изогональной траекторией образующих, необходимо и достаточно, чтобы она была геодезической.

В частности, если стрикционная линия является ортогональной траекторией образующих, то, будучи геодезической, она имеет главную нормаль, которая совпадает с нормалью поверхности, а ее бинормаль должна совпадать с образующей. Итак, для того чтобы стрикционная линия была ортогональной траекторией образующих, необходимо и достаточно, чтобы образующие были ее бинормалями.

4. Возвращаясь к случаю произвольной поверхности, предположим, что линия является ортогональной траекторией поля. В таком случае ее касательный вектор

а присоединенная точка имеет абсциссу

или вследствие (9) § 53

Итак, присоединенные точки точек ортогональных траекторий поля совпадают с центрами геодезической кривизны этих траекторий.

5. Если поле геодезическое, то

и для любого выбора линии

Но точка

совпадает согласно (7) § 60 с фокальной точкой конгруэнции касательных к линиям поля. Итак, точки, присоединенные к точкам любой линии, пересекающей линии геодезического поля, совпадают с фокальными точками конгруэнции прямых, касающихся линий поля.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление