Главная > Математика > Теория поверхностей
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 63. Присоединенная прямая и чебышевский вектор сети

1. Рассмотрим сеть, образованную линиями двух полей единичных векторов х и присоединенные точки тех последовательностей, которые образуют вектор каждого поля вдоль линии другого поля. Согласно (2) § 62 радиусы-векторы этих точек будут

где — трансверсальные векторы полей соответственно.

Назовем присоединенной прямой сети прямую, соединяющую обе присоединенные точки.

Так как эта прямая лежит в касательной плоскости и не проходит через точку то ее можно задать уравнением «в отрезках» по отношению к местной системе координат

Подставляя координаты присоединенных точек

мы получим

Исходя из этих выражений, найдем коэффициенты разложения

Подставляя в (4), получим, например,

Но

где о) есть угол между направлениями векторов х таким образом,

аналогично

и

Таким образом, вектор координаты которого совпадают с коэффициентами уравнения присоединенной прямой сети, определяется по формуле (5), где — единичные касательные векторы линий (Тети, и — трансверсальные векторы полей , а — угол между линиями сети.

Вектор был введен из других соображений Я. С. Дубновым и был назван им чебышевским вектором сети.

2. Чебышевский вектор сети может быть выражен через тензор этой сети

Для того чтобы получить это выражение, выразим тензор сети и взаимный ему тензор через векторы Согласно (23) и (27) § 11 мы будем иметь

где — угол, отсчитанный от , а норма тензора

Из условия

получим дифференцированием

где трансверсальный вектор поля Но

откуда

Аналогичным образом из условия

получим для трансверсального вектора поля

Подставляя выражения обоих трансверсальных векторов в (5), получим для чебышевского вектора сети

Но вследствие (6)

откуда

или в силу (12) § 11

и окончательно

Отсюда можно получить выражение координат чебышевского вектора сети координатных линий.

Полагая

будем иметь

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление