Главная > Математика > Теория поверхностей
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 66. Геодезические сети

Сопоставляя формулы (8) § 53, (7) и (8) § 63, мы получим следующие выражения для геодезических кривизн линий сети, касающихся единичных векторов если тензор сети, а -его норма:

В силу этого для такой сети, все линии которой геодезические, т. е. геодезической сети, оба корня х уравнения

должны быть также корнями уравнения

что возможно в том и только в том случае, если кубическая форма (3) делится на квадратичную форму (2). Если частное от этого деления есть линейная форма то

или

откуда вследствие (10) § 10

С другой стороны, для всякого тензора имеет место соотношение (1) § 64

Сложив три соотношения почленно

мы получим

где

Подставляя в выражение чебышевского вектора (9) § 63, получим

откуда

а вследствие (3) § 64

Таким образом, соотношение (5) принимает окончательный вид

и выражает условие того, что есть тензор геодезической сети.

Достаточность условия (5) можно показать следующим образом. Свертывая обе его части с любым из векторов сети, мы получим

аналогично этому

следовательно, сеть геодезическая.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление