Главная > Математика > Теория поверхностей
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 70. Изотропные направления и изотропная сеть

До сих пор мы рассматривали только действительные Векторные поля и сети. Однако в дифференциальной геометрий, как и в других разделах высшей геометрии, часто обращаются к рассмотрению мнимых элементов, достигая этим большей общности и единообразия.

Так, например, говорят, что уравнение с действительными коэффициентами

определяет мнимую сеть, если норма тензора положительна, а системы комплексно сопряженных величин которые удовлетворяют уравнениям

определяют поля мнимых векторов.

К этим векторным полям применяются все определения теории действительных векторных полей, если определяющие их комплексные величины являются аналитическими функциями изотермических координат и удовлетворяют соответствующим дифференциальным уравнениям.

В частности, к мнимым векторным полям применима, вообще говоря, и теория трансверсального вектора, однако здесь есть один исключительный случай, который нужно отметить особо.

Исключительными свойствами обладают поля так называемых изотропных направлений, или нулевых направлений, метрического тензора, которые удовлетворяют уравнению

и будут комплексно сопряженными, так как норма тензора равна единице, т. е. положительна. Из соотношения

следует, что вектор дополнительный к изотропному, и сам изотропный вектор удовлетворяют одному и тому же линейному уравнению с коэффициентами и, следовательно, могут отличаться только скалярным множителем, т. е.

Линейная зависимость между вектором изотропного направления и его дополнительным вектором не позволяет разложить по ним всякий третий вектор, а на свойствах этого разложения основаны теории трансверсального вектора.

Дифференцируя левую часть (1) и принимая во внимание, что получим

откуда следует, что для изотропного поля

Этому уравнению можно дать следующее истолкование: изотропное направление переносится параллельно по любой кривой или образует поле абсолютно параллельных направлений.

Так как, в частности, это параллельное перенесение можно осуществить и вдоль самих линий изотропной сети, определяемой уравнением

то эту сеть следует рассматривать и как чебышевскую и как геодезическую, в согласии с чем для тензора очевидно, выполняются условия (7) § 66 и (3) § 67.

Таким образом, в комплексной области результат § 67 должен быть сформулирован с поправкой: существование сети, которая является одновременно и геодезической и чебышевской, характеризует развертывающуюся поверхность, если эта сеть неизотропная.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление