Главная > Математика > Теория поверхностей
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 73. Конформное соответствие плоскостей

Рассмотрим две плоскости, находящиеся в конформном соответствии. Если их линейные элементы связаны, как и в общем случае, отношением

то формула (10) § 72

связывает трансверсальные векторы соответствующих полей. Но эти векторы градиентны (§ 52), а следовательно, и вектор —градиент,

а это значит, что функция градиент которой равен гармоническая.

Итак, при конформном отображении плоскости на плоскость логарифм коэффициента растяжения является гармонической функцией точки.

Задавая конформные отображения с помощью аналитической функции

т. е. считая прямоугольными координатами соответствующих точек обеих плоскостей, и сравнивая (1) с (12) § 47, мы будем иметь

откуда

где есть аргумент производной и является гармонической функцией, сопряженной с функцией

Будем дифференцировать функцию имея в виду, что она и все ее производные — аналитические функции Согласно (11) § 47

Далее мы предположим для общности, что плоскости отнесены к общим криволинейным координатам Согласно (15) § 51 х и у удовлетворяют дифференциальным уравнениям

Принимая это во внимание, мы будем иметь

С другой стороны, вектор будет дополнительным к вектору и мы можем применить к выражению

те же рассуждения, которые применили к выражению в § 47.

Проведя эти рассуждения, мы получим

откуда окончательно

Производной Шварца аналитической функции называется выражение

или, как легко видеть, положив в наших обозначениях

но вследствие (4) и (5)

Сравнив с (15) § 72, мы видим, что при конформном отображении плоскости на плоскость квадратичная форма

совпадает с мнимой частью производной Шварца, отображающей функции, что же касается ее действительной части, то, как легко видеть, она совпадает с квадратичной формой

Конформное соответствие между двумя плоскостями называется круговым, если оно отображает всякий круг на круг или прямую. Так как при этом конформном соответствии линии постоянной кривизны переходят в такие же линии, то согласно § 72 оно характеризуется обращением в нуль тензора а следовательно, и производной Шварца.

Общее решение дифференциального уравнения

известно. Оно имеет вид

и, таким образом, отображающая функция кругового соответствия есть общая дробно-линейная функция своего аргумента.

Из (16) § 72 следует, что при круговом преобразовании

где кривизны плоских линий, и 5 — длины их дуги, и так называемый параметр Либмана, который определяется для плоской кривой интегралом

инвариантен при круговом преобразовании.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление