Главная > Математика > Теория поверхностей
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 81. Перемена порядка ковариантного дифференцирования

1. При вычислении частных производных удовлетворяется тождество

или

Аналогичное тождество, вообще говоря, не имеет места для второй ковариантной производной тензора и заменяется другим, более сложным.

Действительно,

Альтернируя и принимая во внимание, что градиент, мы получим

а свертывая с бивектором будем иметь в силу определения полной кривизны (1) § 78

Так как всякий кососимметричный тензор отличается от дискриминантного множителем, который легко определяется свертыванием с то

и соотношение (2) принимает вид

Уравнение (5) показывает, что альтернированная вторая ковариантная производная вектора обращается в нуль только на поверхностях нулевой полной кривизны.

2. Найдем выражение альтернированной производной другим способом, исходя из выражения

Дифференцируя еще один раз и альтернируя, получим

Но

Принимая во внимание, что

и меняя индекс суммирования, чтобы вынести за скобку, получим

где

Сравнив с (5), которое тоже справедливо для любого вектора приходим к следующему соотношению:

Величины очевидно, являются координатами тензора, который называется тензором кривизны или тензором Римана — Кристоффеля. Из (8) следует, что координаты этого тензора выражаются через символы Кристоффеля и их первые производные.

Вводя так называемый тензор Риччи

и пользуясь формулой (16) § 10, будем иметь

откуда получим еще одно выражение для полной кривизны

3. Из (11) следует, что

Логарифмируя, дифференцируя и пользуясь соотношением (8) § 51, получим дифференциальное уравнение

которое позволяет определить полную кривизну с точностью до постоянного множителя, если известны значения коэффициентов связности

Заметив это, мы видим, что формула позволяет определить с точностью до постоянного множителя метрический тензор поверхности, полная кривизна которой отлична от нуля, если символы Кристоффеля известны.

Отсюда в свою очередь следует, что если две поверхности ненулевой кривизны находятся в таком соответствии, при котором тензор аффинной деформации

то метрические тензоры этих поверхностей связаны соотношением

которое характеризует тривиальное конформное соответствие.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление