Главная > Математика > Теория поверхностей
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 91. Присоединенная поверхность

Из основного дифференциального уравнения минимальной поверхности

следует уравнение

которое показывает, что каждая из прямоугольных координат точки минимальной поверхности или, общее, всякая горизонтальная функция на минимальной поверхности является гармонической.

Из (1) сейчас же следует, что дифференциальное уравнение

вполне интегрируемо, а координаты радиуса-вектора являющегося его решением, будут сопряженными гармоническими функциями для функций на исходной поверхности.

Поверхность заданная уравнением

называется присоединенной минимальной поверхности

Из (2) следует

Первое из этих уравнений показывает, что вектор принадлежит поверхности так, что присоединенная поверхность соответствует данной с параллелизмом касательных плоскостей.

Второе уравнение выражает равенство ковариантных координат векторов и мы приходим к уравнению

которое равносильно

Уравнение (5) выражает перпендикулярность соответствующих элементарных смещений на минимальной и присоединенной ей поверхности или их соответствие с ортогональностью линейных элементов.

Кроме того,

так что присоединенная поверхность наложима на данную минимальную.

Но если это так, то координаты являются гармоническими функциями и на присоединенной поверхности, и поверхность, присоединенная минимальной, есть тоже минимальная поверхность.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление