Главная > Математика > Теория поверхностей
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 94. Формулы Вейерштрасса

Так как асимптотическая. сеть минимальной поверхности — ортогональная и кодацциева, то она изотермическая (§ 65). Изотермической сетью будет и ее изображение на сфере единичного радиуса, так как сферическое отображение конформно.

Если тензоры вторых форм данной минимальной поверхности и ее присоединенной, то вследствие (2) § 91

или

Таким образом, согласно (4) § 29 асимптотическая сеть присоединенной поверхности соответствует сети линий кривизны данной поверхности.

Рассмотрим разложения

Умножая скалярно на получим

откуда

где индекс у поднят с помощью метрического тензора сферического отображения.

Для комплексной комбинации (1) § 92 мы будем иметь теперь

Но согласно (11) § 72 можно выразить через градиенты двух сопряженных гармонических функций, положив

и тогда вследствие (3) § 47 и (1)

откуда

или

где аналитическая функция на сфере единичного радиуса, комплексный градиент этой функции.

Формула (3) позволяет определить уравнение минимальной и ее присоединенной поверхности

Таким образам, задание минимальной поверхности равносильно заданию аналитической функции на сфере единичного радиуса. Если криволинейные координаты изотермические, то есть аналитическая функция переменного

откуда

и если линейный элемент сферического отображения имеет вид

то, вводя обозначение

мы получим из (3)

Предположим теперь, что стереографические координаты единичной сферы (§ 75). В таком случае

и координаты комплексного вектора вычисляются по формулам

которые называются формулами Вейерштрасса.

Считая многочленом, можно получить с помощью этих формул уравнения алгебраических минимальных поверхностей.

Так, при получаем алгебраическую поверхность девятого порядка, которая называется поверхностью Эннепера:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление