Главная > Математика > Теория информации
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

8.3. Вид оптимального распределения и статистическая сумма

Рассмотрение, проводимое в этом параграфе, будет иметь меньшую степень общности, чем результаты предыдущего параграфа. Оно ограничено условием существования описываемого ниже обратного линейного преобразования

Как видно из формы уравнений (6.2.8), (6.2.9), их решение легко записать, если найдено преобразование

обратное преобразованию

или в другой записи

Обратное преобразование (8.3.1) записывается при помощи ядра следующим образом:

или

Для простоты остановимся на дискретном варианте. Тогда будет матрицей, обратной матрице

При помощи этой же (но транспонированной) матрицы можно записать также преобразование

обратное преобразованию

Придавая уравнению (8.2.7) вид

или

и используя обратное преобразование (8.3.3), будем иметь

т. е.

Левую часть можно записать в виде или Следовательно,

Применяя обратное преобразование (8.3.4), находим

Неизвестные параметры определяем при помощи (8.2.1), (8.2.2). Суммируя (8.3.7) по и учитывая, что левая часть обращается в единицу, получаем уравнение

которое эквивалентно (8.2.2). (Использовано, что поскольку в силу (8.3.2), (8.3.3) функции соответствует и наоборот). Подставляя далее (8.3.7) в (8.2.1), имеем

Равенства (8.3.8), (8.3.9) образуют систему двух уравнений относительно двух неизвестных

Решать указанные уравнения можно с использованием обычных термодинамических методов и понятий. Удобно обозначить

Тогда выражение (8.3.8) примет вид обычной статистической суммы

определенной ранее формулами (3.3.11), (3.6.4). Здесь является аналогом энергии, «кратности вырождения». Равенство (8.3.9) при этом можно записать так:

Если использовать (8.3.11) для определения потенциалов которые аналогичны ранее введенным потенциалам [см. (4.1.7), (3.3.12)], то они будут не чем иным, как потенциалами, рассмотренными в § 8.2. Они удовлетворяют приведенным в § 8.2 обычным термодинамическим соотношениям, что совершенно естественно в свете формул (8.3.11), (8.3.12), имеющих вид, обычный в статистической термодинамике [см. (3.6.4), (3.3.17)]. Они соответствуют каноническому распределению

по переменной у.

Искомое же экстремальное распределение согласно (8.3.7) имеет менее обычный вид

В дополнение к теории, развитой в § 8.2, формула (8.3.11) указывает способ явного вычисления потенциалов

Приведем в заключение следующий результат.

Теорема 8. 5. Если преобразование (8.3.2) обратимо и если условная энтропия не зависит от х, то отношение а о) заключено в интервале между Здесь определены равенствами

т. е.

Доказательство. При Ну из (8.3.10), (8.3.11) вследствие равенства (уже упомянутого ранее) имеем

где

Потенциал очевидно обладает тем же свойством вогнутости, что и Поэтому его образ по Лежандру

является выпуклой функцией. Из (8.2.18), (8.2.19), если учесть (8.3.15), находим

или согласно (8.3.16)

Вследствие указанной выпуклости отношение лежит на интервале между Выбирая из условия получаем в силу (8.3.18), (8.2.19) утверждение теоремы. Доказательство закончено.

Укажем одно следствие из данной теоремы. Если а (тогда то будем иметь

в частности

если к тому же

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление