ÏÐÈËÎÆÅÍÈÅ 2. ÍÅÊÎÒÎÐÛÅ ÌÀÒÐÈ×ÍÎ-ÂÅÊÒÎÐÍÛÅ ÑÎÎÒÍÎØÅÍÈß
Ìàòðèöåé òèïà
íàçûâàåòñÿ òàáëèöà, ñîñòàâëåííàÿ èç âåùåñòâåííûõ èëè êîìïëåêñíûõ êîíñòàíò, ôóíêöèé âðåìåíè è ò. ä., çàïèñûâàåìàÿ êàê
ãäå ïåðâûé èíäåêñ óêàçûâàåò íà íîìåð ñòðîêè, âòîðîé — ñòîëáöà.
Ìàòðèöà òèïà
íàçûâàåòñÿ âåêòîðîì-ñòîëáöîì, à òèïà
— âåêòîðîì-ñòðîêîé. Ñîîòâåòñòâåííî èìååì
Ïðîèçâîäíàÿ è èíòåãðàë îò
ïî âðåìåíè îïðåäåëÿþòñÿ òàê:
ò. å. îíè îáðàçîâàíû ïðîèçâîäíûìè è èíòåãðàëàìè îò êîìïîíåíò âåêòîðà.
Íîðìà âåêòîðà
ìîæåò îïðåäåëÿòüñÿ ïî-ðàçíîìó, â ÷àñòíîñòè, êàê:
èëè êàê
ïðè÷åì â ïåðâîì ñëó÷àå èìååòñÿ â âèäó íàèáîëüøèé èç âñåõ ìîäóëåé êîìïîíåíòîâ õ.
Ñ ïîìîùüþ ìàòðèö è âåêòîðîâ óäîáíî è êîìïàêòíî çàïèñûâàþòñÿ àëãåáðàè÷åñêèå è äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ è ðàçëè÷íûå ñîîòíîøåíèÿ, õàðàêòåðèçóþùèå íåëèíåéíûå öåïè. Íàïðèìåð, çàâèñèìîñòü
òîêà îò ñîâîêóïíîñòè íàïðÿæåíèé
çàïèñûâàåìàÿ â òðàäèöèîííîé ôîðìå êàê
ìîæåò áûòü ñîêðàùåííî ïåðåïèñàíà â âèäå
è ñîâîêóïíîñòü âñåõ òîêîâ
Ñèñòåìà àëãåáðàè÷åñêèõ èëè òðàíñöåíäåíòíûõ óðàâíåíèé âèäà
â ìàòðè÷íî-âåêòîðíîé ôîðìå âûãëÿäèò òàêèì îáðàçîì:
ãäå
âåêòîð-ñòîëáåö, ñîñòàâëåííûé èç êîìïîíåíò-ôóíêöèé
Ñèñòåìà äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â íîðìàëüíîé ôîðìå Êîøè
ó÷èòûâàÿ ïðèâåäåííîå âûøå ïðàâèëî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ âåêòîðà, ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà òàê:
Ðàññìîòðèì äàëåå óðàâíåíèå
ãäå X — ñêàëÿð. Ñìûñë åãî ñîñòîèò â òîì, ÷òî âåêòîð, ïîëó÷àåìûé îò óìíîæåíèÿ ìàòðèöû À òèïà
íà âåêòîð õ, ñîâïàäàåò ñ âåêòîðîì, êîòîðûé ïîëó÷èòñÿ, åñëè íåêîòîðûé ñêàëÿð ê óìíîæèòü íà òîò æå âåêòîð õ. Îêàçûâàåòñÿ [26], ÷òî íåòðèâèàëüíîå ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ îòíîñèòåëüíî êîìïîíåíò âåêòîðà õ âîçìîæíî òîëüêî ïðè òåõ çíà÷åíèÿõ 7., êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ êîðíÿìè íåêîòîðîãî àëãåáðàè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ñòåïåíè
Êîýôôèöèåíòû ýòîãî óðàâíåíèÿ ïîëíîñòüþ îïðåäåëéþòñÿ ìàòðèöåé À, à êîðíè åãî íàçûâàþòñÿ ñîáñòâåííûìè ÷èñëàìè ìàòðèöû À.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
(ñì. ñêàí)