Главная > Разное > Теоретические основы техники связи
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

8.1. ЛИНЕЙНАЯ МОДУЛЯЦИЯ

На практике используются самые разнообразные устройства для генерирования передаваемых сигналов. Важный класс генераторов сигналов составляют так называемые линейные модуляторы; в этих устройствах сигналы зависят линейно от сообщения на входе передатчика. Этот класс включает двухполосную амплитудную модуляцию двух пол осную амплитудную модуляцию с подавленной несущей и однопол осную Амплитудную модуляцию

Фиг. 8.2. Система, использующая линейную модуляцию для передачи случайной величины .

ОДНОМЕРНЫЙ ПАРАМЕТР НА ВХОДЕ

Рассмотрим систему передачи, изображенную на фиг. 8.2. Передаваемый сигнал задается равенством

где А — коэффициент усиления по напряжению усилителя передатчика, а — некоторая функция, энергия которой равна единице,

Передача происходит присутствии аддитивного белого гауссовского шумового процесса со спектральной плотностью мощности Таким образом, принимается сигнал

Наша первая задача состоит в определении структуры приемника, приводящего к наименьшей среднеквадратической ошибке, и отыскании его характеристик.

Среднеквадратическая ошибка. При постановке задачи построения приемника будем предполагать, что принимаемый случайный процесс представляется некоторым вектором Очевидно, что для того чтобы безусловная среднеквадратическая ошибка (при вычислении которой усреднение ведется по всем возможным парам переданных и принятых векторов) была минимальна, необходимо и достаточно, чтобы условная среднеквадратическая ошибка вычисляемая при условии, что задано значение принимаемого вектора была минимальна при каждом Это является следствием того, что безусловную среднеквадратическую ошибку можно представить в виде

где

Фиг. 8.3. Возможная апостериорная плотность распределения вероятностей с условным средним значением .

Так же как и в гл. 7, символ используется для обозначения условного математического ожидания.

Равенства и дают аналитическое выражение для через Остается найти правило, согласно которому приемник должен строить оценку соответствующую минимуму На фиг. 8.3 изображен график типичной апостериорной плотности распределения с условным средним значением

Покажем теперь, что минимизирует Доказательство этого факта совпадает с доказательством, приведенным в пункте «интерпретация приемника» разд. 7.4. Предположим, что нриемник строит оценку как-либо иначе, например, как

Произведя усреднение по ансамблю всевозможных значений получаем [так же как и в (7.112)]

Очевидно, что принимает минимальное значение, если , т. е. если

Таким образом, наилучшая среднеквадратическая оценка (при заданном представляет собой условное среднее значение и соответствующая этой оценке среднеквадратическая ошибка равна условной, дисперсии

Так как при выводе соотношений и не использованы предположения ни о линейности модуляции, ни о том, что канал является гауссовским, то соотношения справедливы в самом общем случае.

Пусть в частном случае линейной модуляции и аддитивного гауссовского шума функция определяет одно из одномерных подпространств пространства сигналов; передаваемый сигнал при этом представляется вектором

Если теперь обозначить через проекцию на то также может быть представлен одномерным вектором

где

Если, наконец, обозначить через оставшуюся часть шума

то, как следует из соотношений (4.45б), и (4.25б), любой вектор полученный из статистически не зависит от пары векторов следовательно, является несущественным. Теперь имеем

где

Поэтому векторная форма записи, использованная в равенствах и является избыточной: оценка приводящая к наименьшей среднеквадратической ошибке, может быть записана в виде

а результирующая среднеквадратическая ошибка как

Условная плотность распределения задается формулой Байеса; для любых

Но является не зависящей от гауссовской случайной величиной с нулевым средним значением и дисперсией Поэтому

Подставляя это выражение в получаем

где нормирующий множитель, который определяется из условия равенства единице интеграла от

Дальнейший анализ существенно зависит от вида априорной плотности распределения вероятностей . В простейшем случае также является гауссовской случайной величиной, например, с нулевым средним значением и дисперсией

В этом случае

Раскрывая квадрат в показателе экспоненты, получаем

Так как функциональная зависимость от а имеет гауссовский вид, то апостериорная плотность распределения (так же как и априорная плотность ) является гауссовской. Отсюда получаем выражение для нормирующего множителя

Условное среднее значение определяется следующим образом:

и если то среднеквадратическая ошибка равна

Из последнего соотношения следует, что апостериорная дисперсия величины соответствующей передаваемому сигналу получается из априорного значения умножением его на где

определяет среднюю энергию сигнала. Безошибочная передача имеет место только в пределе при Так как не зависит от то, как следует из правая часть равенства (8.166) представляет собой также и безусловную среднеквадратическую ошибку. Поэтому имеем

Минимаксный прием. Как следует из соотношения (8.16а), является линейной функцией существенной компоненты принимаемого сигнала. Это значит, что в случае, когда гауссовская плотность, приемник, минимизирующий среднеквадратическую ошибку, является лилейным приемником. Такой приемник изображен на фиг. 8.4. Он состоит из фильтра, согласованного с за которым следует аттенюатор с коэффициентом затухания

Приемник, минимизирующий среднеквадратическую ошибку, не является, конечно, линейным, когда негауссонекая плотность, несмотря

Фиг. 8.4. Приемник, минимизирующий среднеквадратическую ошибку, когда гауссовская плотность. Этот ириемник является также минимаксным.

на то что передаваемый сигнал линейно зависит от Это следует из того, что в соответствии с равенством зависит не только от но и от Нетрудно показать, что линейный приемник, изображенный на фиг. 8.4, является минимаксным в том смысле, что никакой другой приемник не приводит к меньшей среднеквадратической ошибке, если модуляция является линейной, а самая неблагоприятная плотность распределения. В частности, как уже было отмечено, никакой другой приемник не работает так же хорошо, как линейный, в случае когда гауссовская плотность. Минимаксное свойство поэтому можно доказать, если убедиться в том, что приемник, изображенный на фиг. 8.4, дает одну и ту же среднеквадратическую ошибку для любой плотности второй момент которой равен

Доказательство непосредственно следует из равенства (8.106) и фиг. 8.4. Имеем

Усредняя по совместному ансамблю значений получаем

где последнее равенство следует из статистической независимости Но

и

Испольлуя эти соотношения вместе с равенством (8.20б), опять получаем после упрощающих преобразований

Это выражение совпадает с результатом полученным в гауссовском случае, и не зависит от вида функции

Удобной количественной характеристикой системы является отношение сигнал/шум по мощности которое определяется равенством

На основании соотношения

Приемлемая по качеству передача с использованием минимаксного приема возможна тогда и только тогда, когда отношение средней энергии сигнала к шуму можно сделать относительно высоким, например

Прием по методу максимума правдоподобия. Приемник, который рассматривает все допустимые значения и среди них выбирает так, чтобы

называется приемником максимального правдоподобия. Для случая линейной модуляции было показано, что

и поэтому значение а, максимизирующее правую часть соотношения равно Таким образом, приемник максимального правдоподобия принимает решение

если и если допустимая область значений те не ограничена Структура получающегося в результате приемника, изображенная на фиг. 8.5, совпадает в основном со структурой приемника, изображенного на фиг. 8.4; отличие состоит в том, что коэффициент затухания выбран теперь равным независимо от значения .

Легко найти среднеквадратическую ошибку для приемника, изображенного на фиг. 8.5. Имеем

Так как

Эти результаты аналогичны результатам и полученным для нимаксного приемника; оба эти выраления не зависят от вида функции

На основании приходим к выводу, что приемник максимального правдоподобия по существу является минимаксным при больших значениях отношения средней энергии сигнала к шуму условие, которое, как уже было упомянуто, является необходимым для хорошей передачи. Этот в под следует из того, что минимаксная среднеквадратическая ошибка получается при умножении среднеквадратической ошибки (8.25а) для приемника максимального правдоподобия на

этот множитель стремится к единице с ростом

Преимущество приема по методу максимума правдоподобия состоит в том, что затухание аттенюатора не зависит от Для приемника, изображенного на фиг. 8.4, среднеквадратическая ошибка не обязательно должна повышаться, если сделаны неточные предположения относительно значений этих параметров. Предположим, например, что выбрано так, чтобы минимизировать в предположении

Из равенства следует, что в этом случае ошибка на выходе приемника будет равна

Фиг. 8.5. Приемник максимального правдоподобия для случая, когда при .

Если в действительности спектральная плотность шума в канале равна нулю, то и для среднеквадратической ошибки получаем

Это выражение не равно нулю даже тогда, когда вначале нет шума. С другой стороны, при приеме по методу максимума правдоподобия стремится к нулю, если характеристики канала приближаются к характеристикам канала без шума, даже когда факт этого приближения оказывается неизвестным на приемном конце.

Ограниченные сообщения на входе. В строгом смысле приемник, изображенный на фиг. 8.5, не является приемником максимального правдоподобия, если сообщение принимает значения из конечного интервала вещественной оси. В качестве примера можно взять любую априорную плотность распределения, для которой

Далее, не теряя общности, можно пронормировать (положительную) постоянную а, сделав ее равной 1, так что

Границы для ограничивают область расположения передаваемого вектора сигнала (фиг. 8.6). Когда изменяется в интервале конец вектора движется по оси между точками

Зависимость функции правдоподобия определяемой равенством от значения показана на фиг. 8.7 для нескольких значений Если то значение которое максимизирует равно . С другой стороны, становится недопустимым значением если Из фиг. 8.7 следует, что, когда значение ограничено числом 1, приемник

Фиг. 8.6. Геометрическое изображение совокупности векторов передаваемых сигналов когда ограничено.

максимального правдоподобия принимает решение

Блок-схема такого приемника изображена на фиг. 8.8, я; он отличается от приемника неограниченных сообщений, изображенного на фиг. 8.5, наличием элемента с насыщением.

Включение этого элемента снижает среднеквадратическую ошибку и делает ее несколько меньшей Причина этого поясняется на фиг. 8.8, б, где изображена графически условная плотность распределения выхода элемента с насыщением как функция от для заданных значений Как следует из фиг. 8.8, а, математическое ожидание равно второму моменту плотности относительно точки умноженному на Если не слишком близко к то этот второй момент приближенно равен дисперсии Однако при стремлении второй момент относительно точки уменьшается; если то лишь отрицательные значения существенной части шума влияют на ошибку. При этом условная среднеквадратическая ошибка приближенно равна

Поэтому безусловная среднеквадратическая ошибка

получается усреднением относительно плотности Это означает, во-первых, что для приемника максимального правдоподобия всегда

причем равенство имеет место в том и только в том случае, когда неограниченная случайная величина. Во-вторых, отсюда следует, что ограничение области значений существенно не снижает если только плотность не сосредоточивает почти всю единичную вероятность внутри интервалов длины, примерно равной около концевых точек Если последнее условие не выполняется, имеем

и воздействие элемента с насыщением на пренебрежимо мало.

В большинстве случаев условие можно без существенного ущерба не принимать во внимание; это значит, что элемент с насыщением можно удалить из приемника, существенно не ухудшив характеристики системы. Однако если априорные сведения состоят в том, что аппроксимируется вырожденной плотностью

(кликните для просмотра скана)

Фиг. 8.9. Вырожденный случай. Как показано на нижнем графике случае функция правдоподобия для значения а больше, чем для , когда не выполняется неравенство При услонная вероятность этого событии равна и результирующая ошибка равна то это условие нужно учитывать. В этом крайнем случае, например на основании фиг. 8.9, становится ясным, что достижимая среднеквадратическая ошибка равна что много меньше если велико. В дальнейшем не будут исследоваться вырожденные плотности и поэтому будут рассматриваться только такие приемники, которые не содержат элемента с насыщением. Удобно называть эти приемники приемниками «максимального правдоподобия» даже тогда, когда усечено. Для этих приемников равенства являются точными, а не приближенными.

Усеченные плотности распределения играют важную роль в системах с линейной модуляцией, так как они отражают ограничение, наложенное на пиковую энергию сигнала. Так как то ограничение гарантирует, что действительная энергия сигнала меньше или равна для всех Будем обозначать в дальнейшем максимальную энергию сигнала через При линейной модуляции с и приемниках максимального правдоподобия (но не содержащих элемента с насыщением) получаем

и

Если плотность равномерного распределения на интервале то и

В этом случае средняя энергия сигнала отличается от пиковой энергии сигнала примерно на 4,8 дб.

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ПАРАМЕТРОВ НА ВХОДЕ

Как сам метод, использованный при изучении сообщения, представляющего собой одномерную случайную величину, так и выражение для среднеквадратической ошибки можно тривиальным образом обобщить на случай передачи последовательности (вектора) непрерывных случайных параметров

считая, что последовательные компоненты модулируются ортогопальными функциями. Рассмотрим, например, систему передачи, изображенную на фиг. 8.10, а. В этой системе передаваемый сигнал задается равенством

где по предположению являются ортонормальными функциями. Система передачи должна воспроизвести на выходе приемника подходящую оценку вектора на входе передатчика; здесь

Как и обычно, существенная компонента принятого сигнала содержится в векторе

Фиг. 8.10. Передача случайного вектора с помощью линейной модуляции и приема по методу максимума правдоподобия.

с компонентами

Так как белый гауссовский шум, то функция правдоподобия

Из этого разложения на множители следует, что компоненты вектора а, который минимизирует будут Поэтому векторный приемник максимального правдоподобия оценивает отдельно каждый из параметров тк. Если то он принимает решение

Такой приемник изображен на фиг. 8.10, б. Проблема передачи последовательности параметров при использовании приема по методу максимума правдоподобия сводится, таким образом, к последовательности проблем, связанных с передачей одного параметра.

Подходящей количественной характеристикой при передаче случайного векторного параметра является среднеквадратическая ошибка, отнесенная к одной компоненте (она также будет обозначаться через

Равенство относится к каждой отдельной компоненте; поэтому приемник, изображенный на фиг. 8.10, б, снова дает

Как и ранее, шумовая характеристика является по существу минимаксной, если отношение энергии сигнала к шуму велико.

Из следует, что приемник максимального правдоподобия всегда поступает так, как если были статистически независимыми (так как оценка строится только лишь на основе Однако можно получить значительно лучшую шумовую характеристику, если заранее известно, что между существует сильная связь. Так, например, если известно, что то можно построить приемник, отличный от приемника максимального правдоподобия, который будет учитывать эти сведения.

Среди систем передачи последовательности параметров на практике часто встречаются системы передачи, использующие амплитудно-импульсную модуляцию (сокращенно такая система показана на фиг. 8.10. Когда задаются как

вырабатываются различными находящимися на входе источниками сообщений, система называется системой с частотным уплотнением. Если сообщения на входе выбираются с помощью последовательного подключения

Фиг. 8.11. АИМ-передатчик с временным уплотнением.

различных источников на входе (как показано на фиг. 8.11), а ортогональные функции являются сдвинутыми импульсами длительности

то система называется системой с временным уплотнением. Приемники, используемые вместе с этими системами передачи, обычно близки по своей структуре к приемникам максимального правдоподобия.

ФУНКЦИИ НА ВХОДЕ

Задача передачи случайной функции тесно связана с задачей передачи последовательности параметров. Существование такой связи сразу же становится очевидным, если процесс на входе передатчика можно адекватно представить в виде

где соответствующим образом выбранная совокупность ортонормальных функций При этом задается случайным вектором

Любой сигнал на входе, с которым приходится встречаться на практике, каким-либо образом ограничен по полосе. Удобной идеализацией, отражающей это обстоятельство, является предположение о том, что передаваемый

процесс на входе пропущен через идеальный низкочастотный фильтр с передаточной функцией

Если принять это предположение, то выбор становится особенно простым.

Ныбор отсчетов. Покажем здесь, что подходящая совокупность то нормальных функций, представляющих какой-либо идеально ограниченный по полосе процесс определяется равенствами

Доказательство этого утверждения состоит из четырех последовательных этапов. На первом этапе установим, что

где импульсный отклик, соответствующий

Таким образом, а следовательно, и каждая из функций являются функциями, ограниченными по полосе. Несколько функций из совокупности графически представлены на фиг. 8.12.

На втором этане установим, что функции действительно являются ортонормальными. В самом деле, преобразование Фурье функции имеет вид

откуда, используя теорему Парсеваля, получим

Теорема отсчетов составляет третий этап; доказательство этой теоремы приведено в приложении Теорема может быть сформулирована следующим образом:

Теорема. Если произвольная функция с конечной энергией и преобразованием Фурье, равным нулю при то

где, конечно,

Замечательное свойство совокупности состоит в том, что каждое из можно найти, просто определяя значение в момент

(кликните для просмотра скана)

В самом доле, обозначим через преобразование Фурье функции тогда имеем

Положив здесь получим

Благодаря этому уникальному свойству функции определенные равенством называют отсчетными функциями. Из равенств и следует, что теорему отсчетов можно записать в виде

[Проверку равенства можно осуществить, положив ]

Четвертый этап в доказательстве того, что выбранные отсчетные функции на самом деле являются подходящими для нашей цели, состоит в обобщении теоремы отсчетов на случайные процессы, идеально ограниченные по полосе. Так как выборочные функции такого процесса, вообще говоря, не обладают конечной энергией, теорема отсчетов в первоначальном виде к ним не приложима.

Идея, на которой строится обобщение, основана на том замечании, что теорема все-таки применима к импульсному отклику первого из фильтров, изображенных на фиг. 8.13, а. Но последующее последовательное соединение устройства, производящего выборки, модулятора последовательности импульсов и второго фильтра является просто реализацией математической конструкции, представленной равенством Это значит, что вся схема на фиг. 8.13, а просто эквивалентна одному первому фильтру .

Очевидно, что прохождение случайного процесса через второй фильтр не изменяет отсчетных функций, если процесс ранее уже прошел через такой фильтр. Таким образом, равенство (8.40а) может быть применено также к произвольному случайному процессу, уже ограниченному полосой Из фиг. 8.13, б очевидно, что

где случайные величины задаются равенствами

В частном случае, когда профильтрованный белый гауссовский шум со спектральной плотностью мощности являются статистически независимыми гауссовскими случайными величинами с нулевыми средними значениями и дисперсиями Наоборот, стационарный гауссовский процесс со спектральной плотностью мощности

Фиг. 8.13. Осуществление теоремы отсчетов. равенств следует, что импульсный отклик фильтра имеет вид

возникает из представления

где - бесконечная совокупность независимых случайных величин с для всех .

Конечно, предположение о стационарности процесса представленного равенством не является необходимым. Например, если заранее известно, что могут быть ненулевыми только с индексами к или если при передаче представляет интерес только отрезок процесса, который относится к этим то, для того чтобы представить сообщение на входе передатчика, можно использовать сумму с конечным числом слагаемых

Производя теперь сдвиг начала отсчета времени, получаем

Такие нестационарные процессы полностью задаются, если определена совместная плотность распределения вероятностей коэффициентов Удобно рассматривать бесконечную сумму в (8.49а) как предел суммы (8.516) при стремлении К к бесконечности.

Предположение о том, что процесс то является идеально ограниченным по полосе, не вполпе реально. Как уже отмечалось в гл. 7, фильтр физически не реализуем. Однако (см. приложение 8А) аппроксимация, основанная на этом предположении, является удовлетворительной в большинстве случаев, представляющих практический интерес и, конечно, для любого заданного процесса ее точность увеличивается с ростом Поэтому будем предполагать, что процесс может быть адекватно представлен с помощью соотношения и отсчетных функций Кроме того, отметим, что результаты, относящиеся к приему по методу максимума правдоподобия, останутся неизменными, если совокупность ортонормальных функций определить каким-либо другим подходящим образом.

Критерий точности. Удобной количественной характеристикой, используемой при передаче нестационарных случайных процессов, которые могут быть представлены в виде (8.51а), является интегральная среднеквадратическая ошибка в воспроизведении при помощи процесса на выходе приемника отнесенная к числу отсчетов К. Таким образом,

Покажем теперь, что принятие такого критерия точности приводит к эквивалентности задачи передачи случайной функции и задачи передачи случайного вектора.

Когда на приемном конце заранее известно, что функция, ограниченная по полосе интервалом то очевидно, что также должна быть функцией, ограниченной по полосе. В самом деле, если через обозначить некоторую частную выборочную функцию которая была в действительности передана, а через результирующую оценку, выработанную приемником в присутствии некоторой частной выборочной функции шумового процесса, то интеграл от квадрата ошибки будет равен

Здесь являются преобразованиями Фурье функций соответственно. Очевидно, что увеличится, если перестанет быть равной нулю вне интервала что никакой потери точности не происходит, если оценка приемника также представляется с помощью теоремы отсчетов:

Далее, используя соотношение (4.586), будем иметь

заметим, что далее уменьшается, если положить равными нулю все с индексами лежащими вне интервала на котором определяется . В результате получаем

Так как это равенство справедливо для любого и любой фиксированной выборочной функции шума, то процесс на выходе приемника всегда можно записать в виде

Усредняя (8.55) по процессам, описывающим сообщение и шум, получаем

Равенство (8.57) означает, что задача передачи функции в действительности эквивалентна задаче передачи вектора Можно использовать любое удобное множество ортонормальных функций и передавать сигнал

В этом случае приемник оценивает с помощью вектора и строит в соответствии с равенством (8.56).

Построение приемника. Структура приемника максимального правдоподобия следует непосредственно из (8.56) и фиг. 8.10. Полная схема системы изображена на фиг. 8.14. Как следует из равенств (8.40) и (8.57), среднеквадратическая ошибка на выходе приемника, отнесенная к одной компоненте, равна

В соответствии с равенством (8.58) средняя энергия, приходящаяся на один отсчет, равна

Если

Фиг. 8.14. Приемник максимального правдоподобия для передачи с линейно модулированными сигналами (К конечное). Конденсаторы «держат» выход каждого из согласованных фильтров, до момента

Фиг. 8.15. Приемник максимального правдоподобия в случае, когда передатчик является усилителем. а) К — конечное; б) бесконечное.

имеем

При этом отношение сигнал/шум при расчете на одну компоненту также согласуется с результатом (8.25б), относящимся к случаю одномерной случайной величины на входе,

Аналогично если для всех то где пиковая передаваемая энергия на один отсчет, и равенство (8.59) принимает вид

Частный случай, в котором в равенстве (8.58) считаются просто равными отсчетным функциям показан на фиг. 8.15, а. Если предположить, что

то

В соответствии с фиг. 8.13 в пределе при приемник максимального правдоподобия превращается в простой аттенюатор, за которым следует идеальный фильтр. Получающаяся в результате система изображена на фиг. 8.15, б; оказывается, что шум на выходе приемника является стационарным и

Заметим, что в стационарном случае среднеквадратическая ошибка на один отсчет и величина связаны соотношением

Фиг. 8.16. Приемник, минимизирующиий среднеквадратическую ошибку, когда стационарный гауссовский процесс, ограниченный по полосе.

Приемник, минимизирующий среднеквадратическую ошибку, в случае когда стационарный гауссовский процесс со спектральной плотностью мощности

очень похож на приемник максимального правдоподобия. Так как

то каждый из нормированных отсчетов (k — целое число) имеет дисперсию и все эти отсчеты статистически независимы. Поэтому приемник может оценить каждый отсчет независимо и объединить оценки отсчетов в соответствии с (8.56). Как следует из равенства (8.19), приемник, минимизирующий среднеквадратическую ошибку, состоит из идеального фильтра и аттенюатора с затуханием

где

является средней передаваемой энергией на один отсчет. Такой приемник изображен на фиг. 8.16. Непосредственно можно проверить, что результирующая среднеквадратическая ошибка равна

и отличается от (8.61 в) только лишь множителем . В равенстве (8.63в) мы предпочли не обозначать через так как ошибка не является зависящим от сообщения аддитивным членом; как было отмечено по поводу равенства (8.27), тот факт, что затухание в (8.63а) не равно приводит к ошибке, которая зависит как от так и от шума, присутствующего на входе приемника.

Приемник, изображенный на фиг. 8.16, является минимаксным и приводит к одной и той же среднеквадратической ошибке для любого процесса имеющего спектральную плотность (8.62а) независимо от того, является ли гауссовским процессом или нет. Иной вывод структуры этого приемника, использующий теорию линейных фильтров, минимизирующих среднеквадратическую ошибку, содержится в приложении 8Б.

Несмотря на то что при передаче использование отсчетных функций для упрощает практическую реализацию передатчика и приемника, когда часто имеются веские причины не поступать таким образом. Так, например, система передачи речи, использующая и временное уплотнение, строится путем выбора в качестве равномерно

(кликните для просмотра скана)

расположенных импульсов, длительность которых много меньше интервала между отсчетами При этом можно разместить, перемежая по времени, несколько речевых каналов в одном передающем устройстве. Система также может быть частотно-уплотненной.

Сдвиг по частоте. Другая причина использования при передаче отличного от множества ортонормальных функций связана с особенностями распространения электромагнитных волн: низкочастотный звуковой процесс нужно превратить в высокочастотный процесс, если для передачи используется радиоканал. Функции можно выбрать так, чтобы их спектр лежал в удобной полосе частот.

Так же как и в случае дискретной передачи, рассмотренной в разд. 7.2, самый привычный способ достижения этого состоит в умножении на гармоническую несущую , где подходящая радиочастота Затем сигнал гетеродинируется приемником, что возвращает его обратно к исходной низкочастотной полосе. Так же как и в гл. 7, можно использовать как так и Соответствующие приемники максимального правдоподобия изображены на фиг. 8.17, а, б в предельном случае Оба приемника имеют стационарные шумы на выходе с дисперсиями:

При передаче функций третьим распространенным типом линейной модуляции является обычная двухполосная амплитудная модуляция в которой передаваемый сигнал представляет собой процесс

Таким образом, к передаче слагаемого, зависящего от сигнала на входе добавляется еще передача несущей Типичная выборочная функция процесса изображена на фиг. 8.18, а. Потребуем, чтобы параметр а, который называется глубиной модуляции, выбирался так, чтобы

Это значит, что огибающая сигнала является копией и это является причиной использования

Как показано на фиг. 8.18, б, приемник максимального правдоподобия в этом случае вновь умножает принятый сигнал на и произведение подвергает низкочастотной фильтрации На выходе приемника получаем

где низкочастотный гауссовский процесс со спектральной плотностью в полосе Постоянная компонента вызванная наличием несущей, устраняется блокировочным конденсатором. После нормировки для сообщения на выходе получаем

Равенство является приближенным потому, что блокировочный конденсатор воздействует также на и (возможно) на Шум на выходе стационарный, но теперь его дисперсия равна

С точки зрения энергии, передаваемой в боковых полосах, ДАМ, ОАМ и ДАМ-ПП имеют одинаковые шумовые характеристики, но несущая

Фиг. 8.18. и прием по методу максимума правдоподобия

при потребляет передаваемую энергию, которая не вносит никакого вклада в улучшение оценки Отсюда следует, что хуже ДАМ-ПН и не менее чем на 3 дб а обычно она хуже на 6 дб и более; это значение зависит от глубины модуляции и формы модулирующего сигнала.

Несмотря на тот недостаток, используется часто. Основная причина этого состоит в том, что в случае можно применять недорогой приемник, который содержит в качестве демодулятора детектор огибающей. Такой некогерентный приемник не идеален, когда известна фаза, но, так же как и в дискретном случае, ухудшение характеристик приемника тем меньше, чем меньше по сравнению с Далее, при использовании легче генерировать мощные сигналы.

Как обсуждалось в гл. 7, ОАМ имеет преимущества перед ДАМ-ПН и ДАМ в уменьшении ширины полосы частот. Более того, если при ДАМ-ПП и фазовые соотношения между двумя боковыми полосами искажаются во время распространения, то на выходе демодулятора возникают интерференционные эффекты. Наконец, очевидное требование синхронизации фазы между генераторами в модуляторе и демодуляторе при является несущественным в системах передачи речи: ухо человека относительно нечувствительно к принятой фазе и может переносить даже медленные уходы частоты порядка нескольких герц. В результате часто применяется в системах, работающих на дальних высокочастотных каналах, а обычно широко распространена в средневолновом диапазоне для радиовещания. нашла лишь незначительное применение для передачи звуковой информации.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление