Главная > Разное > Теоретические основы техники связи
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

8.2. НЕЛИНЕЙНАЯ МОДУЛЯЦИЯ

Линейная модуляция и прием по методу максимума правдоподобия приводят к средпеквадратической ошибке, которую в общем случае можно снизить, лишь увеличивая передаваемую энергию. Ранее было показано, что для белого гауссовекого шума со спектральной плотностью мощности

Если отказаться от требования линейности модуляции, то иногда можно уменьшить при заданном без увеличения передаваемой энергии. Различные схемы нелинейной модуляции, в частности, такие, например, как время-импульсная модуляция и частотная модуляция могут давать значения меньшие, чем при линейной модуляции.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ РАССМОТРЕНИЯ

Глубже понять существо тех преимуществ и ограничений, которые несет с собой нелинейная модуляция, можно, исследовав геометрические соотношения между шумом в канале и Начнем с того, что вновь рассмотрим геометрическое представление передаваемого вектора

в случае, когда при помощи линейной модуляции передается одномерная ограниченная случайная величина. Как показано на фиг. 8.19, усилитель

Фиг. 8.19. Геолетрнческге соотношения при линейной модуляции и одномерной случайной неличине на нходе. Приемник, работающий но методу максимума прандоподобия, выбирает так, чтобы минимизировать

передатчика можно представлять себе как устройство, которое «растягивает» интервал на котором задана отличная от нуля плотность преобразуя его в больший по длине интервал в пространстве сигналов. Удлинение является однородным в том смысле, что

Воздействие приема по методу максимума правдоподобия состоит в устранении растяжения, выполненного передатчиком. Аттенюатор приемника на фиг. 8.19 сжимает компоненту связанную с сообщением, преобразуя интервал к первоначальному виду Если то соответствующая ошибка, возникающая при передаче, равна

При отсутствии в приемнике элемента с насыщением устранение растяжения снижает ошибку при передаче в раз и снова дает

Зависимость от величины растяжения на передатчике можно явно выразить, если ввести обозначение

где не зависит от в силу равенства (8.66). Назовем коэффициентом растяжения. Можно записать (8.676), используя

Геометрическое представление множества сигналов при нелинейной модуляции. Коэффициент растяжения играет основную роль в определении среднеквадратической ошибки в схемах как с нелинейной, так и линейной модуляциями. До рассмотрения некоторых специальных систем удобно проиллюстрировать основные концепции, связанные с нелинейной модуляцией, на простом примере. Рассмотрим снова систему передачи одномерного параметра, изображенную на фиг. 8.1, и предположим для простоты, что пространство передаваемых сигналов является двумерной евклидовой плоскостью с осями Это значит, что вектор передаваемого сигнала как функция параметра на входе имеет вид

где ортонормальные векторы. Соответствующий сигнал имеет вид

и

Если система модуляции является линейной, коэффициенты должны быть линейнымн функциями Расширим теперь класс рассматриваемых систем, взяв в качестве произвольные дифференцируемые функции. В общем случае эти функции могут быть довольно сложными, как, нацример, показано на фиг. 8.20; извилистая кривая представляет собой геометрическое место точек (которое параметрически описывается с помощью концов векторов рассматриваемых как функции параметра

Фиг. 8.20. Нелинейное геометрическое представление множества сигналов.

Вновь предположим, что принимает значения на интервале Если ввести ограничение на максимальную передаваемую энергию то это геометрическое представление множества сигналов (называемое кривой сигналов) будет представлять собой линию, лежащую в круге радиуса

Сама по себе кривая сигналов не дает полного описания отображения необходимо также указать, каким образом конец вектора движется по этой кривой при изменении Удобно предположить, что равные приращения соответствуют равным приращениям расстояния, измеряемого вдоль кривой сигналов, т. е.

где общая длина кривой, пробегаемой при увеличении от — 1 до +1. Теперь можно снова определить не зависящий от коэффициент растяжения

Ясно, что это определение совпадает с тем, которое было дано ранее в случае линейной модуляции. В дальнейшем будет показано, что предположение однородности растяжения, выражаемое равенством (8.71а), оправдывается минимаксными соображениями, а также соображениями простоты математической обработки.

Подавление слабого шума. Покажем теперь, что, в случае когда сигналы задаются диаграммой фиг. 8.20 и в канале действует эддитигный белый гауссовский шум, спектральная плотность мощности которого достаточно мала, среднеквадратическая ошибка приемника максимального правдоподобия приближенно равна

Справедливость этого можно понять из фиг. 8.21, где представлен в увеличенном масштабе маленький участок области, показанной на фиг. 8.20,

Фиг. 8.21. Прием при слабом белом гауссовском шуме. Так как то, когла приемник максимального правдоподобия рассматривает только участок ближайший к точке Вероятность того, что этот участок содержит передаваемую точку стремится к единице при .

около некоторой точки Предположим, что параметр на входе принял значение соответствующее а спектральная плотность шума столь мала, что с большой вероятностью принятая точка будет близка к Под этим подразумевается, что внутри круга с центром в и с радиусом, равным нескольким стандартным уклонениям шума, кривую сигналов можно достаточно и точно аппроксимировать одной прямой линией, которая является касательной к в точке

где

В этих условиях «локальная» задача приема геометрически эквивалентна задаче, возникающей при линейной модуляции. При наличии белого гауссовского шума приемник максимального правдоподобия выбирает решение равное значению минимизирующему При заданном достаточно слабом шуме можно пренебречь вероятностью того, что будет ближе к некоторому другому участку сигнальной кривой, чем к участку, который аппроксимируется равенством (8.73). В окрестности множество точек, которые могут бить переданы, имеет вид прямой линии с локальным коэффициентом растяжения Поэтому равенство (8.69) может быть использовано локально, и для условной среднеквадратической ошибки находим

Принимая во внимание условие

и производя усреднение относительно плотности получаем (8.72). (Здесь вновь не принимаются во внимание эффекты усечения на концах, которые снижают ошибку окрестности )

Далее покажем, что равенство (8.72) для слабых шумов остается справедливым не только в случае сигналов определенных [см. (8.70)] с помощью двух функций но и когда содержит любое число ортонормальных функций. Для достаточно слабого шума условная среднеквадратическая ошибка при условии, что зависит только от поведения в окрестности Для любой дифференцируемой функции в этой окрестности справедливо представление

где

Для использования метода Грама — Шмидта для представления функций требуется по крайней мере двумерное пространство. Поэтому при любом заданном имеем

где [как и в (8.73)] векторы двумерны и представляют соответственно. Доказательство, приводящее к (8.72), остается в этом случае неизменным.

Часто оказывается удобным выразить коэффициент растяжения непосредственно через Вспоминая, что квадрат длины вектора равен энергии соответствующей временной функции, получаем

Поэтому всегда, когда правая часть следующего ниже равенства не зависит от коэффициент растяжения имеет вид

и тогда, если шум является достаточно слабым, так чтобы можно было считать точным равенство (8.77), имеем

Порог. При любоц заданной дифференцируемой кривой сигналов типа изображенной на фиг. 8.20 всегда возможно указать спектральную плотность шума достаточно малую для того, чтобы была справедлива линеаризация, приводящая к (8.79). Однако для данного пространства сигналов и фиксированных вовсе неверно утверждение о том, что среднеквадратическую ошибку можно сделать сколь угодно малой, увеличивая длину кривой сигнала и, следовательно, увеличивая коэффициент растяжения

Суть этого заблуждения видна из фиг. 8.22. Если кривая сигналов лежит в сфере фиксированной размерности и радиуса то нельзя безгранично увеличивать длину кривой сигнала, не сближая «складки» этой кривой. Вместе с тем, как показано пунктирными окружностями, условная плотность распределения вероятностей принимаемого вектора при условии, что является сферически симметричной относительно передаваемой

Фиг. 8.22. Представление сигналов, для которых не применим линеаризованный анализ. Радиусы окружностей, изображенных пунктиром, равны: Поскольку того, что будет лежать ближе к некоторой другой складке а не к довольно высока.

точки и кривые равной плотности зависят только от спектральной плотности шума Это значит, что, когда безгранично увеличивается, и фиксированы, неизбежно возникнет такое положение, при котором несколько различных складок кривой сигналов пройдут черев область, в которой значение достаточно велико. Когда это произойдет, кривую - сигналов в окрестности множества векторов, прием которых является наиболее вероятным, если послано нельзя будет больше аппроксимировать одной прямой линией, показанной на фиг, 8.21, и линеаризация, приводящая к (8.79), перестанет быть справедливой.

На самом деле, можно заметить, что не только возможность исследования методом линеаризации, но и вся система передачи нарушается в этих условиях. Так, например, выход приемника максимального правдоподобия изменяется скачком, тогда как принимаемый вектор непрерывно переходит границу, разделяющую точки на фиг. 8.23. Пересечение такой границы существенно «отъединяет» от соответствующего действительна переданного сообщения

Более того, нарушение системы передачи в этих условиях является принципиально неизбежным и не может быть приписано просто некоторому несовершенству приема по методу максимума правдоподобия. Рассмотрим ситуацию, изображенную на фиг. 8.24, а, когда принимаемый вектор лежит вблизи двух складок кривой сигналов. Согласно закону Вайеса, апостериорная плотность распределения вероятностей величины имеет вид

Если только на интервалах а, которые отображаются в эти складки то должна существовать некоторая область находящаяся между складками, в которой является существенно мультимодальной плотностью, т. е. содержит два или большее числа несвязанных локальных максимумов почти одинаковой высоты (фиг. 8.24, б).

Фиг. 8.23. (см. скан) Когда точка ближайшая к находится ближе к следовательно близко к Это не так, когда

Фиг. 8.24. (см. скан) Принятый вектор, приводящий к мультимодальной апостериорной плотности распределения.

Правдоподобно, что принятие равный как приведет к большой ошибке. Более того, условное среднее значение находится в области малых плотностей распределения вероятностей, так что опенка минимизирующая среднеквадратическую ошибку, заслуживает даже меньшего доверия.

Когда является существенно мультимодальной плотностью (или, что еще хуже, унимодальной вокруг некоторого значения не связанного с передаваемым значением), будем говорить, что принимаемый сигнал является аномальным. В аномальном случае никакой приемник не сможет построить разумную оценку это следует из того, что апостериорная плотность распределения содержащая всю информацию, необходимую для любой оценки величины сама приводит либо к по существу неопределенным, либо к ошибочным выводам. Поэтому, например, сама цель минимизировать среднеквадратическую ошибку оказывается, очевидно, неуместной.

При приеме по методу максимума правдоподобия принимаемый сигнал является аномальным, когда находится ближе к участку кривой сигналов, отличному от того, которому принадлежит передаваемая точка Геометрически очевидно, что в пространстве сигналов фиксированной размерности аномальные приемы непременно возникают с возрастающей вероятностью в каждой из двух следующих ситуаций:

1. Если коэффициент растяжения возрастает при фиксированных возрастает, но нелинейная кривая сигналов остается фиксированной (поэтому фиксированными остаются и

Если условия таковы, что вероятность аномалии превышает некоторый допустимый уровень, например или меньший (этот уровень зависит от конкретных приложений), будем говорить, что порог превзойден и нет надежды на то, что передача будет удовлетворительной но качеству. К сожалению, хотя при достаточно малой спектральной плотности шума среднеквадратическая ошибка, соответствующая нелинейной модуляции, производящей однородное растяжение, уменьшается в раз, спектральная плотность шума, при которой происходит превышение порога и размерность пространства сигналов считаются фиксированными), является, вообще говоря, довольно малой величиной, когда велико. Па практике возникает необходимость строить такие системы нелинейной модуляции, при которых получается удовлетворительный компромисс между двумя этими эффектами.

Приведенные только что рассуждения и понятия для удобства иллюстрировались в двумерном пространстве сигналов. Те же самые рассмотрения и выводы, применимы к кривой сигнала, определенной в любом конечномерном пространстве. Поэтому в дальнейшем эти идеи будут использованы в тех случаях, когда геометрический образ множества сигналов полностью может быть описан в бесконечномерном пространстве. (Замечание, сделанное в гл. 4, относительно того, что пространство конечной размерности всегда достаточно для описания множества сигналов, применимо только к дискретным системам с конечным числом сообщений.) В разд. 8.4 показывается, что вероятность аномалии возрастает, если при фиксированном увеличивать длину геометрического образа множества сигналов и одновременно увеличивать размерность этого образа.

Минимаксные рассмотрения Покажем теперь, что предположение об однородности растяжения, введенное равенством (8.716), приводит к приемнику максимального правдоподобия, который является «минимаксным при слабом шуме». Под этим подразумевается, что однородное растяжение минимизирует среднеквадратическую ошибку, соответствующую приему по методу максимума правдоподобия, когда очень мало и выбирается наиболее неблагоприятное

Предположим, что задано некоторое частное нелинейное геометрическое представление множества сигналов длины в виде кривой (такое, как показано на фиг. 8.20), но имеется свобода в выборе «скорости», с которой движется по этой кривой при изменении предположим, что мы можем изменять так, чтобы при двшкении от одного конца кривой до другого (что соответствует изменению точки в интервале ) выполнялось условие

Задача состоит в том, чтобы задать как функцию таким образом, чтобы ошибка была минимаксной при малом значении

Случай, в котором при всех уже был рассмотрен. Из (8.79) имеем

этот результат остается справедливым при произвольной ограниченной плотности если пренебречь эффектами усечения в точках Таким образом, утверждение о минимаксе при слабом шуме можно доказать, если рассмотреть все другие и показать, что возникающие значения будут больше, чем когда вероятность выбирается как наиболее неблагоприятная из возможных плотностей.

Если растяжение является неоднородным, имеется некоторая область на кривой, в которой функция минимальна. Ограничение (8.81) означает, что это минимальное значение должно быть меньше, чем Если выбирается так, чтобы почти вся единичная вероятность была сосредоточена в области, где достигается минимум то, как следует из (8.74),

что завершает доказательство. Иллюстративный пример представлен ни фиг. 8.25.

Смысл этого результата состоит в том, что при достаточно слабом шуме и отображении в любую заданную кривую сигналов минимаксная среднеквадратическая ошибка не зависит от вида этой кривой, если используется прием по методу максимума правдоподобия. Имеет значение только длина кривой сигналов. Поэтому предпочтение одной кривой данной длины другой кривой той же самой длин и должно всецело зависеть от других факторов, например от того, для какой из кривых выше значение порога или для какой из кривых легче генерировать и принимать сигналы, образующие эту кривую.

Построение приемиика максимального правдоподобия. Построение приемника максимального правдоподобия для передачи одномерного ограниченного параметра с помощью нелинейной модуляции можно в принципе выполнить по крайней мере непосредственным образом. При заданных геометрическом представлении множества сигналов и аддитивном белом гауссовском тпуме имеем

где принимаемый сигнал, передаваемый сигнал, представляющий передаваемая энергия, когда При решении по методу максимума правдоподобия нужно найти корреляцию принимаемого сигнала с каждым сигналом из всего множества передаваемых сигналов если не зависит от а, то принимается равным тому значению а, для которого корреляция максимальна.

Приемник максимального правдоподобия при линейной модуляции является частным случаем приемника, описываемого равенством (8.84). При линейной модуляции так что

(кликните для просмотра скана)

где

Как уже было отмечено, необходим только один коррелятор. Приемник полагает решение равным такому значению а, для которого максимальна правая часть равенства (8.85а). Дифференцируя, получаем

поэтому

что и следовало ожидать.

Практическая реализация приемника максимального правдоподобия при произвольном геометрическом представлении множества сигналов включала бы построение бесконечного числа корреляторов (или выполнения бесконечного количества вычислений), каждый из которых соответствовал бы некоторому значению а из интервала . В общем случае построить такой приемник, конечно, невозможно. Одно из реализуемых приближений к такому приемнику получается, если выбрать конечное множество из точек равномерно расставленных на интервале и затем найти корреляции принятого сигнала с каждым из соответствующих сигналов Из фиг. 8.26 очевидно, что увеличение результирующей ошибки пренебрежимо мало, когда выбрано достаточно большим, так чтобы соседние были приблизительно коллинеарными и

где среднеквадратичеакая ошиэка при приеме по неупрощенному методу максимума правдоподобия.

Ниже будет рассмотрена время-импульсная модуляция; как и в случае линейиой модуляции, для нее можно реализовать неупрощенный приемник максимального правдоподобия с помощью лишь одного согласованного фильтра.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление