Главная > Математика > Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4.2. Решение некоторых уравнений и неравенств сведением их к решению систем уравнений или неравенств относительно той же неизвестной

4.2.1. Уравнения вида ...

Уравнения вида

равносильны системе уравнений

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Перепишем уравнение (4) в виде

откуда очевидно, что уравнение (5) равносильно системе уравнений

Первое уравнение этой системы имеет единственное решение которое не удовлетворяет второму уравнению системы (6). Следовательно, система (6) не имеет решений. Ответ: нет решений.

Пример 2. Решить уравнение

РЕШЕНИЕ. Перепишем уравнение (7) в виде

Это уравнение равносильно системе уравнений

Решение первого из этих уравнений есть Проверка показывает, что это число также является и решением второго уравнения системы (8). Следовательно, является решением исходного уравнения (7).

Ответ:

Отметим, что к системе (3) сводится и ряд других уравнений. Приведем пример.

ПРИМЕР 3. Решить уравнение

Решение. Для любых х справедливы неравенства

Поэтому уравнение (9) равносильно системе уравнений

имеющей единственное решение

Ответ:

4.2.2. Неравенства вида ...

Решениями неравенств вида

являются все х из их ОДЗ, за исключением тех х, которые являются решениями системы уравнений

Пример 4. Решить неравенство

Решение. ОДЗ неравенства (13) есть все Для нахождения решений неравенства (13) надо исключить из ОДЗ все решения системы уравнений

Эта система имеет единственное решение следовательно, решениями неравенства (13) являются все кроме

Ответ:

Пример 5. Решить неравенство

Решение. Перепишем неравенство (14) в виде

Для любого х справедливы неравенства

Поэтому неравенство (14) не выполняется лишь для таких х, что одновременно

т. е. для

Следовательно, решениями исходного неравенства (14) являются все х, кроме

Ответ: Отметим, что к системе (12) сводятся иногда и другие неравенства.

Пример 6. Решить неравенство

Решение. ОДЗ неравенства (15) являются все х, удовлетворяющие условию т. е. ОДЗ есть все На ОДЗ справедливы неравенства

Поэтому неравенство (15) выполняется для всех х из ОДЗ, кроме тех, которые удовлетворяют системе уравнений

Решениями второго уравнения этой системы являются Из них первому уравнению удовлетворяет только Итак, решениями данного неравенства (15) являются все х из промежутка

Ответ:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление