Что такое математика?

  

Р. Курант, Г. Роббинс. Что такое математика? Элементарный очерк идей и методов. — 3-e изд., испр. и доп. — М.: МЦНМО, 2001. — 568 с.

Книга написана крупным математиком Рихардом Курантом в соавторстве с Г. Роббинсом. Она призвана сократить разрыв между математикой, которая преподается в школе, и наиболее живыми и важными для естествознания и техники разделами современной математической науки. Начиная с элементарных понятий, читатель движется к важным областям современной науки. Книга написана очень доступно и является классикой популярного жанра в математике.

Книга предназначена для школьников, студентов, преподавателей, а также для всех интересующихся развитием математики и ее структурой.



Оглавление

Предисловие ко второму русскому изданию
Как пользоваться книгой
Что такое математика?
Глава I. Натуральные числа
§ 1. Операции над целыми числами
2. Представление целых чисел с помощью письменных знаков (нумерация).
3. Арифметические действия в недесятичных системах счисления.
§ 2. Бесконечность системы натуральных чисел. Математическая индукция
2. Арифметическая прогрессия.
3. Геометрическая прогрессия.
4. Сумма n первых квадратов.
5. Одно важное неравенство.
6. Биномиальная теорема.
7. Дальнейшие замечания по поводу метода математической индукции.
Дополнение к главе I
Теория чисел
2. Распределение простых чисел.
§ 2. Сравнения
2. Теорема Ферма.
3. Квадратические вычеты.
§ 3. Пифагоровы числа и большая теорема Ферма
§ 4. Алгоритм Евклида
2. Применение к основной теореме арифметики
3. Функция Эйлера. Еще раз о теореме Ферма.
4. Непрерывные дроби. Диофантовы уравнения
Глава II. Математическая числовая система
§ 1. Рациональные числа
2. Возникновение надобности в рациональных числах внутри самой математики. Принцип обобщения.
3. Геометрическое представление рациональных чисел.
§ 2. Несоизмеримые отрезки. Иррациональные числа, пределы
2. Десятичные дроби: конечные и бесконечные.
3. Пределы. Бесконечные геометрические прогрессии.
4. Рациональные числа и периодические десятичные дроби.
5. Общее определение иррациональных чисел посредством стягивающихся отрезков.
6. Иные методы определения иррациональных чисел.Декиндовы сечения.
§ 3. Замечания из области аналитической геометрии
2. Уравнения прямых и кривых линий.
§ 4. Математический анализ бесконечного
2. Счетность множества рациональных чисел и несчетность континуума.
3. «Кардинальные числа» Кантора.
4. Косвенный метод доказательства.
5. Парадоксы бесконечного.
6. Основания математики.
§ 5. Комплексные числа
2. Геометрическое представление комплексных чисел.
3. Формула Муавра и корни из единицы.
4. Основная теорема алгебры.
§ 6. Алгебраические и трансцендентные числа
2. Теорема Лиувилля и конструирование трансцендентных чисел.
Дополнение к главе II. Алгебра множеств
2. Применение к математической логике.
3. Одно из применений к теории вероятностей.
Глава III. Геометрические построения. Алгебра числовых полей
Часть 1. Доказательства невозможности и алгебра
1. Построение полей и извлечение квадратных корней.
2. Правильные многоугольники.
3. Проблема Аполлония.
§ 2. Числа, допускающие построение, и числовые поля
2. Все числа, допускающие построение, — алгебраические.
§ 3. Неразрешимость трех классических проблем
2. Одна теорема о кубических уравнениях.
3. Трисекция угла.
4. Правильный семиугольник.
5. Замечания по поводу квадратуры круга.
Часть 2. Различные методы выполнения построений
§ 4. Геометрические преобразования. Инверсия
2. Свойства инверсии.
3. Геометрическое построение обратных точек.
4. Как разделить отрезок пополам и как найти центр данного круга с помощью одного циркуля.
§ 5. Построения с помощью иных инструментов. Построения Маскерони с помощью одного циркуля
1. Классическая конструкция, служащая для удвоения куба.
2. Построения с помощью одного циркуля.
3. Черчение с помощью различных механических приспособлений. Механические кривые. Циклоиды.
4. Шарнирные механизмы. Инверсоры Поселье и Гарта.
§ 6. Еще об одной инверсии и ее применениях
1. Инвариантность углов. Семейства окружностей.
2. Применение к проблеме Аполлония.
3. Повторные отражения.
Глава IV. Проективная геометрия. Аксиоматика. Неевклидовы геометрии
1. Классификация геометрических свойств. Инвариантность при преобразованиях.
2. Проективные преобразования.
§ 2. Основные понятия
1. Группа проективных преобразований.
2. Теорема Дезарга.
§ 3. Двойное отношение
§ 4. Параллельность и бесконечность
2. Идеальные элементы и проектирование.
3. Двойное отношение с бесконечно удаленными элементами.
§ 5. Применения
2. Двумерное доказательство теоремы Дезарга.
3. Теорема Паскаля.
4. Теорема Брианшона.
5. Замечание по поводу двойственности.
§ 6. Аналитическое представление
2. Однородные координаты. Алгебраические основы двойственности.
§ 7. Задачи на построения с помощью одной линейки
§ 8. Конические сечения и квадрики
2. Проективные свойства конических сечений.
3. Конические сечения как «линейчатые кривые».
4. Теоремы Паскаля и Брианшона для общего случая произвольных конических сечений.
5. Гиперболоид.
§ 9. Аксиоматика и неевклидова геометрия
2. Гиперболическая неевклидова геометрия.
3. Геометрия и реальность.
4. Модель Пуанкаре.
5. Эллиптическая, или риманова, геометрия.
Приложение. Геометрия в пространствах более чем трех измерений
Глава V. Топология
§ 1. Формула Эйлера для многогранников
§ 2. Топологические свойства фигур
2. Свойства связности.
§ 3. Другие примеры топологических теорем
2. Проблема четырех красок.
3. Понятие размерности.
4. Теорема о неподвижной точке.
5. Узлы.
§ 4. Топологическая классификация поверхностей
2. Эйлерова характеристика поверхности.
3. Односторонние поверхности.
Приложение
2. Теорема Жордана для случая многоугольников.
3. Основная теорема алгебры.
Глава VI. Функции и пределы
§ 1. Независимое переменное и функция
2. Радианная мера углов.
3. График функции. Обратные функции.
4. Сложные функции.
5. Непрерывность.
6. Функции нескольких переменных.
7. Функции и преобразования.
§ 2. Пределы
2. Монотонные последовательности.
3. Число Эйлера e.
4. Число «пи»
5. Непрерывные дроби.
§ 3. Пределы при непрерывном приближении
2. Замечания по поводу понятия предела
3. Предел sin x/x
4. Пределы при х -> оо.
§ 4. Точное определение непрерывности
§ 5. Две основные теоремы о непрерывных функциях
2. Доказательство теоремы Больцано.
3. Теорема Вейерштрасса об экстремальных значениях.
4. Теорема о последовательностях. Компактные множества.
§ 6. Некоторые применения теоремы Больцано
2. Применение к одной механической проблеме.
Дополнение к главе VI. Дальнейшие примеры на пределы и непрерывность
4. Разрывные функции как предел непрерывных.
5. Пределы при итерации.
§ 2. Пример, относящийся к непрерывности
Глава VII. Максимумы и минимумы
§ 1. Задачи из области элементарной геометрии
2. Теорема Герона. Экстремальное свойство световых лучей.
3. Применения к задачам о треугольниках.
4. Свойства касательных к эллипсу и гиперболе. Соответствующие экстремальные свойства.
5. Экстремальные расстояния точки от данной кривой.
§ 2. Общий принцип, которому подчинены экстремальные задачи
§ 3. Стационарные точки и дифференциальное исчисление
2. Максимумы и минимумы функций нескольких переменных. Седловые точки.
3. Точки минимакса и топология.
4. Расстояние точки от поверхности.
§ 4. Треугольник Шварца
4. Треугольники, образованные световыми лучами.
5. Замечания, касающиеся задач на отражение и эргодическое движение.
§ 5. Проблема Штейнера
2. Анализ возникающих альтернатив.
3. Дополнительная проблема.
4. Замечания и упражнения.
5. Обобщение: проблема уличной сети.
§ 6. Экстремумы и неравенства
1. Средние арифметическое и геометрическое двух положительных величин.
2. Обобщение на случай n переменных.
3. Метод наименьших квадратов.
§ 7. Существование экстремума. Принцип Дирихле
3. Экстремальные проблемы элементарного содержания.
4. Трудности, возникающие в более сложных случаях.
§ 8. Изопериметрическая проблема
§ 9. Экстремальные проблемы с граничными условиями. Связь между проблемой Штейнера и изопериметрической проблемой
§ 10. Вариационное исчисление
2. Вариационное исчисление. Принцип Ферма в оптике.
3. Решение задачи о брахистохроне, принадлежащее Якобу Бернулли.
4. Геодезические линии на сфере. Минимаксы.
§ 11. Экспериментальные решения минимальных проблем. Опыты с мыльными пленками
2. Опыты с мыльными пленками.
3. Новые опыты, относящиеся к проблеме Плато.
4. Экспериментальные решения других математических проблем.
Глава VIII. Математический анализ
§ 1. Интеграл
2. Интеграл.
3. Общие замечания о понятии интеграла. Общее определение.
4. Примеры интегрирования. Интегрирование x^r.
5. Правила «интегрального исчисления».
§ 2. Производная
2. Производная как предел.
3. Примеры.
4. Производные от тригонометрических функций.
5. Дифференцируемость и непрерывность.
6. Производная и скорость. Вторая производная и ускорение.
7. Геометрический смысл второй производной.
8. Максимумы и минимумы.
§ 3. Техника дифференцирования
§ 4. Обозначения Лейбница и «бесконечно малые»
§ 5. Основная теорема анализа
2. Первые применения. Интегрирование функций x^r, cosx, sinx. Функция arctgx
3. Формула Лейбница для «пи»
§ 6. Показательная (экспоненциальная) функция и логарифм
2. Показательная (экспоненциальная) функция.
3. Формулы дифференцирования функций е^х, а^х, x^s.
4. Явные выражения числа е^x и функций lnx в виде пределов.
5. Бесконечный ряд для логарифма. Вычисление логарифмов.
§ 7. Дифференциальные уравнения
2. Дифференциальное уравнение экспоненциальной функции. Радиоактивный распад. Закон роста. Сложные проценты.
3. Другие примеры. Простейшие колебания.
4. Закон движения Ньютона.
Дополнение к главе VIII
§ 1. Вопросы принципиального порядка
3. Другие приложения понятия интеграла. Работа. Длина кривой.
§ 2. Порядки возрастания
2. Порядок возрастания ln(n!)
§ 3. Бесконечные ряды и бесконечные произведения
2. Формула Эйлера cos x + i sin x = exp(ix).
3. Гармонический ряд и дзета-функция. Формула Эйлера, выражающая sin x в виде бесконечного произведения.
§ 4. Доказательство теоремы о простых числах на основе статистического метода
Приложение. Дополнительные замечания, задачи и упражнения
Аналитическая геометрия
Геометрические построения
Проективная и неевклидова геометрия
Топология
Функции, пределы, непрерывность
Максимумы и минимумы
Дифференциальное и интегральное исчисления
Техника интегрирования
Рекомендуемая литература