4. Схема метода обратной задачи
1) Прямая и обратная задачи рассеяния
Одним из методов интегрирования уравнения Кортевега — де Фриза является метод обратной задачи. В этом методе для интегрирования нелинейного уравнения необходимо последовательно решить две линейные задачи. При этом оказалось, что с уравнением (12.17) тесно связано дифференциальное уравнение
которое в физической литературе часто называется стационарным уравнением Шредингера с потенциалом
Функция
зависит от
как от параметра,
в (12.19) — числовой параметр.
Приведем некоторые необходимые сведения об уравнении (12.19).
Определение. Функцию
будем называть быстроубывающей, если
Ниже будем предполагать, что потенциал
является быстроубывающим.
Для уравнения (12.19) рассмотрим две задачи. Первая из них состоит в нахождении таких значений
при которых уравнение (12.19) имеет нетривиальные решения
называемая ядром уравнения Гельфанда-Левитана, а затем ищется решение
следующего линейного интегрального уравнения:
Решив уравнение Гельфанда-Левитана (12.24), по формуле
определяем функцию
которая и является искомым потенциалом и тем самым решением обратной задачи рассеяния.
2) Схема метода
Рассмотрим задачу Коши для уравнения (12.17):
Решение задачи Коши (12.26) назовем быстроубывающим, если функция
и все ее производные по до третьего порядка включительно являются быстроубывающими функциями.
Возможность использования обратной задачи рассеяния для построения быстроубывающих решений (12.26) основана на следующих теоремах.
Теорема 7.7. Если потенциал
в (12.19) является быстроубывающим решением уравнения Кортевега—де Фриза, то собственные значения
не зависят от времени
Теорема 7.8. Если потенциал
в (12.19) является быстроубывающим решением уравнения Кортевега—де Фриза, то данные рассеяния
зависят от времени следующим образом:
Пусть
быстроубывающее решение задачи (12.26), отвечающее быстроубывающей функции
Тогда данные рассеяния для этой функции
рассматриваемой как потенциал в (12.19), связаны с данными рассеяния для потенциала
формулами (12.27). Следовательно, зная данные рассеяния для
можно по формулам (12.27) найти данные рассеяния для
и затем, построив и решив уравнения Гельфанда-Левитана, определить функцию
Таким образом, мы приходим к следующей схеме отыскания быстроубывающих решений (12.26).
Рассматривая уравнение